수열이란?
먼저 등차 수열과 등비 수열을 설명하기 앞서 수열에 대해서 알아봅시다. 위키백과에 수열의 정의는 다음과 같습니다.
수열(數列)은 어떤 규칙에 따라 차례로 나열한 수를 말한다. 여기에 속하는 각각의 수를 수열의 ‘항’(혹은 ‘원소’, ‘열’이라고도 함)이라고 한다. 수열의 각 항은 순서에 따라 구분되므로 (1, 2, 3)과 (1, 3, 2)는 서로 다른 수열이며, 집합의 경우와 달리 (1, 1, 2)처럼 하나의 수가 두 항에 동시에 등장할 수도 있다. 이때 항의 수를 수열의 ‘길이’라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도 있고, 무한할 수도 있다. 또한, 수열은 (2, 4, 6, 8, …)과 같이 일정한 규칙에 따라 놓일 수도 있고, (3, 7, 6, 5, …)와 같이 아주 규칙도 없이 놓일 수도 있다.
- 위키피디아(http://ko.wikipedia.org/wiki/수열)
넓은 의미에서는 꼭 수가 아니라도, 특정한 순서로 놓인 임의의 대상의 열을 ‘수열’이라고 한다. 예를 들어 문자의 열은 ‘문자열’, 행렬의 열은 ‘행렬렬’이라 하는데, 이런 것들도 일반적인 의미에서 ‘수열’이라고 불린다.
수가 나열되어 있고, 수의 순서에 따라 규칙이 있거나 없을 수 있는 것이다. 위 수열의 규칙을 따라 수열을 나누는데 그것이 등차/등비/계차 수열입니다.
추가적으로 위에서 말한 행렬도 하나의 수열입니다. 그렇다는 것은 일정한 규칙을 가지고 있다는 것입니다. 그 규칙을 프로그래밍에서 이용한다면, 2차 배열을 1차 배열을 이용해서 구현할 수도 있다. 이에 대한 예제는 다음 숙제로 나두고, 등차수열과 등비수열에 대해 설명하겠습니다.
등차수열
등차수열은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열을 말합니다. 즉, 각 항에 일정한 수를 더해서 얻어지는 수열을 뜻합니다. 일정한 수를 더하는 값을 공차라고 합니다.
등차수열의 일반항
수열의 첫항을 a_1, 공차를 d라고 하면 등차수열의 n번째 항은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
a_n = a_1 + (n-1)d
등차수열의 예
첫항이 1이고 공차가 2인 등차수열은 다음과 같습니다.
1, 3, 5, 7, 9, .....
첫항이 50이고 공차가 -10인 등차수열은 다음과 같습니다.
50, 40, 30, 20, 10, 0, -10, .....
등비수열
등비수열은 각 항의 그 앞 항과 일정한 비를 가지는 수열을 말합니다. 즉 각 항에 일정한 수를 곱해서 얻어지는 수열을 뜻합니다. 일정한 수를 곱하는 값을 공비라고 합니다. 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 됩니다.
등비수열의 일반항
수열의 첫 항을 a, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같습니다.
a_n = ar^(n-1)
등비수열의 예
첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같습니다.
1, 2, 4, 5, 16, 32 ...
첫항이 3이고 공비가 -1인 등비 수열은 다음과 같습니다.
3, -3, 3, -3, 3, -3, ...
등차수열과 등비수열의 관계
등비수열은(공비가 -1, 1, 0이 아닌 경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보입니다. 즉, 그래프를 보면, 기울기가 매우 커진다는 것이죠. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고, 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차 수열이 되는 관계를 가진다고 합니다.
등차수열^2 = 등비수열
log(등비수열) = 등차수열
참고사이트
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98%EC%97%B4
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4
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